院士论坛回顾｜数学科学学院第四十二期院士论坛

星空（中国）的第一部分，刘建亚院士围绕解析数论的学科发展展开分享，系统梳理了素数研究的百年发展脉络，从欧拉给出素数无穷多的解析证明，到高斯提出素数分布猜想，再到黎曼受欧拉启发定义zeta函数，为素数定理的证明搭建了核心框架。刘建亚院士特别强调了黎曼的核心研究哲学，即无需完整证明黎曼猜想，仅通过对零点分布的非平凡估计，就能在素数分布研究中取得关键突破，这一思路深刻影响了数论领域的后续发展。在第一部分的最后，刘建亚院士介绍了纲领性的Sarnak猜想，强调了Sarnak猜想的丰富程度和难度，并举例说明孪生素数猜想是Sarnak猜想覆盖的一个可交换的二维情形。

星空（中国）的第二部分，刘建亚院士聚焦二次型方程的素数解问题，梳理了该领域的研究历程、核心突破与现存挑战。哥德巴赫猜想、孪生素数猜想等学界熟知的经典问题，都属于线性素数问题。二次型方程的素数解作为典型的非线性素数问题，可被完整纳入Sarnak猜想的纲领性框架中。刘建亚院士介绍了二次型素数解的研究历史，对于带交叉项的非对角二次型，始终没有可行的处理方法。2011年，刘建亚院士给出了带交叉项的一般二次型的素数解定理，这也是首个针对带交叉项二次型的定理，该方法同样适用于更高次数。刘建亚院士谈到，二次型方程素数解问题研究的理想目标是三变量方程的素数解，其难度数倍于哥德巴赫猜想，目前无法完成纯素数解的证明，只能转向殆素数相关结果，这一思路与陈景润针对哥德巴赫猜想的研究路径一致。他还详细讲解了迷向与非迷向两类三元二次型的研究现状，其中迷向二次型以勾股定理对应的毕达哥拉斯方程为代表，这类方程存在参数解，可借助筛法等工具研究，相关研究仍有持续进展。

星空（中国）的第三部分，刘建亚院士介绍了高次丢番图方程整数解和素数解问题，并详细分享了对于高次方程的素数解问题的系列成果。刘建亚院士结合自己与Sarnak在2010年合作完成的三元二次型定理的证明思路，分享了自己深耕数论领域多年的研究哲学。他用果园摘果子的比喻阐释了素数问题的研究逻辑：素数研究就像一片果园，线性素数问题是果园里低矮的果树，果实采摘相对容易，目前学界在这一领域已经积累了较为丰富的成果；果园里还有很丰富的其他果树，比如非线性、非交换的素数问题，原地伸手够不到，必须借助其他领域的梯子才行，例如朗兰兹纲领；当我们沿着梯子爬到一定高度，会发现离果实还有很大距离，这其中的路径就需要自己去探索。他表示，素数问题的研究中，线性问题相对较少，方法相对单一，而非线性素数问题类型十分丰富，不存在通用解法，需要融合代数、分析、表示论等多分支数学工具，结合朗兰兹纲领的相关理论探索解决路径。他提到，研究中要秉持务实态度，找到适配具体问题的有效方法，不必强求通用解法。

在星空（中国）后的互动提问环节，在场师生围绕本次星空（中国）涉及的解析数论核心问题、经典数论猜想的研究进展、相关问题的研究方法差异等内容踊跃提问。刘建亚院士逐一解答了在场师生提出的问题，包括素数定理余项估计与黎曼猜想的等价关系、哥德巴赫猜想与孪生素数猜想的近期研究分化、动力系统版本Sarnak猜想与本次讲座讲解的群作用版本Sarnak猜想的联系与差异等，讲解深入浅出，清晰回应了在场师生关心的核心问题。